DIOPHANTE

Mathématicien grec de la seconde moitié du 3^e s. apr. J.C. (le petit Robert le situe au 4^ème siècle après J.C. V. Encyclopedia Universalis, s.v. Diophante), originaire d'Alexandrie.

Pour son tombeau, Métrodore avait composé l'épitaphe suivante (Anth.Pal. 14, 126):

Sous cette tombe gît Diophante. La merveille

c'est que la tombe dit, ingénieusement,

la durée de son existence.

Le ciel a fait couler le temps de son enfance

sur un sixième de ses jours.

Il ajoute un douzième avant de laisser croître

le premier duvet sur ses joues.

Un septième s'écoule: alors le ciel allume

pour lui le flambeau de l'hymen.

A la cinquième année de mariage il lui donne

un fils. Pauvre fils bien aimé!

A la moitié de l'âge où doit mourir son père,

on brûlera son corps glacé.

Quatre ans, pour tromper son chagrin,

le père se consacre à l'étude des nombres

et de ses jours il voit la fin.

On apprend ainsi qu'il vécut _____ ans .

Auteur d'un manuel de mathématiques (τὰ Αριθμητικά), en 13 livres, dont 6 nous sont parvenus en grec (livres I-III, VIII-X), et 4 dans une traduction arabe (livres IV-VII). Ce livre ne fut redécouvert en Europe qu'au 13^e siècle, alors qu'il a nourri toute la science mathématique, notamment algébrique, des Arabes. La traduction arabe ne fut découverte qu'il y a une trentaine d'années!

Diophante fut le premier à rechercher systématiquement les solutions d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Son livre consiste en effet en une collection de XXX problèmes, dans un ordre progressif, portant sur des équations déterminées ou indéterminées, du premier au neuvième degré, à deux ou plusieurs inconnues. Le but de Diophante est de trouver à tous les problèmes des solutions déterminées, c'est-à-dire positives rationnelles, si possible entières; à la rigueur irrationnelles, mais sans y accorder d'importance; les solutions négatives sont écartées de ses recherches. Plus que d'un traité d'algèbre, il s'agit d'une recherche sur les nombres. Diophante avait d'ailleurs encore écrit deux traités sur les Nombres polygonaux et les Parties des nombres.

Ce que sait Diophante

Il semble sûr que Diophante connaissait une formule générale pour résoudre

ax² = bx + c

ax² + bx = c

ax² + c = bx

Il ne connaissait sans doute pas de formule générale, mais savait résoudre par essais

Ax² + Bx + C = y²

Il sait aussi que

tout nombre entier de la forme 4n + 1 est la somme de deux carrés,

tout nombre entier de la forme 4n + 3 n'est pas la somme de deux carrés,

un nombre entier de la forme 8n + 7 n'est pas somme de trois carrés,

etc...

Exemples de résolution diophantienne

Arithm. 4, 39

"Trouver trois nombres tels que la différence du plus grand au moyen ait un certain rapport à la différence du moyen au plus petit, avec la condition supplémentaire que la somme de chaque paire soit un carré."

Nous écririons: trouver X < Y < Z tels que (Z-Y) / (Y-X) = m, X+Y = a², Y+Z = b² et X+Z = c².

Diophante pose que ce rapport soit de 3/1, et que la somme du nombre moyen et du plus grand soit 4, un carré.

Après différentes équations, il obtient le résultat qui vérifie toutes les conditions

7338 1878 58

------ ------ ----

484 484 484

Arithm. II, 8

"Partager un carré donné en deux carrés" . Notation moderne: A² = B² + C² (C'est le fameux triangle de Pythagore) .

Voici sa démonstration

"Essayons de diviser par exemple 16 en deux carrés.

Soit x² le premier carré; le second est dès lors 16 - x².

Il faut encore que 16 - x² soit un carré.

Je prends un carré de la forme (mx - 4)², m étant n'importe quel entier et 4 la racine de 16; par exemple 2x - 4, et son carré 4x² - 16x + 16.

Je peux poser 4x² - 16x + 16 = 16 - x².

J'obtiens 5x² = 16x, et donc x = 16/5.

Le premier nombre est dès lors 256/25 (carré de 16/5), le second 144/25, (carré de 12/5) et leur somme est bien 400/25 soit 16."

cqfd.

C'est à partir de cette proposition que Pierre Simon de Fermat (1601-1665) écrivit sa fameuse note marginale (publiée en 1670): "Il est impossible de partager un cube en 2 cubes, ou un bicarré en 2 bicarrés, ou plus généralement une puissance quelconque, sauf le carré, en deux puissances de même exposant. J'en ai découvert une démonstration vraiment merveilleuse, mais la marge n'est pas assez grande pour la contenir".

En d'autres termes, Fermat prétendait avoir montré que Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ ne peut être résolu en termes rationnels si n > 2.

Après bien des étapes, ce ("premier" ou "dernier") théorème de Fermat a été démontré en ... juin 1995 (v. Encyclopedia Universalis, s.v. Diophantiennes, équations).

Diophante est encore connu pour son problème paradoxal: trouver deux nombres dont la somme soit égale à la somme de leurs carrés. Nous écririons aujourd'hui: X + Y = X² + Y². Sans le dire, Diophante recherche évidemment X et Y de telle manière que X < > Y, X > 0 et Y > 0.

Aujourd'hui existe toute une partie des mathématiques qui s'occupe d'approximer les irrationnels à l'aide des rationnels, de trouver des solutions générales à tous les types de systèmes d'équations, et qui, en souvenir de ce grand précurseur, portent son nom: Approximations diophantiennes, Equations diophantiennes (v. Encyclopedia Universalis, s.v. Diophantiennes (approximations), Diophantiennes (équations).